PERSAMAAN BIDANG DATAR

A.     PERSAMAAN UMUM BIDANG DATAR

·         Persamaan Vektoris Bidang Datar

Suatu bidang datar akan tertentu bila diketahui tiga buah titik (yang tidak segaris) yang terletak pada bidang datar tersebut. Misalkan, diketahui tiga titik pada bidang datar V :

Untuk setiap titik sebarang X(x,y,z) pada bidang datar V berlaku :

PX = λPQ + µPR (-∞ < λ< ∞, -∞ <µ<∞)

Sehingga

[x,y,z] = [x₁,y₁,z₁]+λ[x₂-x₁,y₂-y₁,z₂-z₁]+µ[x₃-x₁,y₃-y₁,z₃-z₁]…......... (1)

(-∞ < λ< ∞, -∞ <µ<∞) adalah persamaan vektoris bidang datar melalui tiga buah titik. Kedua vector PQ dan PR disebut vector-vektor arah bidang (setiap dua vector, yang tidak segaris, pada bidang merupakan vector-vektor arah bidang tersebut). Sehingga persamaan vektoris bidang datar diketahui melalui satu titik P(x₁,y₁,z₁) dan diketahui dunia vector arahnya a = [x_a,y_a,z_a] dan b = [x_b,y_b,z_b] adalah :

[x,y,z] = [x₁,y₁,z₁] + λ[x_a,y_a,z_a] + µ[x_b,y_b,z_b] …………………….. (2)

(-∞ < λ< , -∞ <µ<∞)

Dan persamaan (2) dapat ditulis menjadi tiga persamaan :

x = x₁ + λx_a + µx_b ………………………………………………… (3)

y = y₁ + λy_a + µy_b ………………………………………………… (4)

z = z₁ +  λz_a  +µz_b ………………………………………………… (5)

yang disebut persamaan parameter bidang datar.

·         Persamaan Linier ( Umum ) Bidang Datar

Kalau λ dan µ kita eliminasikan dari persamaan (3) dan (4) di atas diperoleh :

Dimana  …………………………. (6)

dan misalkan = 0, kemudian kalau λ dan µ di atas kita substitusikan ke persamaan (5) diperoleh :

atau

Sebut :

dan

persamaan (7) menjadi  ………………. (8)

yang merupakan persamaan linier (umum) dari suatu bidang datar.

Yang merupakan persamaan linier (umum) dari suatu bidang datar.

Contoh Soal :

Cari persamaan bidang yang melalui titik – titik P(1, 2, -1), Q(2, 3, 1) dan R(3, -1, 2).

Penyelesaian :

Bentuk umum dari persamaan sebuah bidang datar yaitu

Melalui P(1, 2, -1)     a + 2b – c + d = 0 …………………………… (1)

Melalui Q(2, 3, 1)     2a+3b+c+d = 0 ………………………………. (2)

Melalui R(3, -1, 2)    3a-b+2c+d = 0 ……………………………….. (3)

Eliminasi (1) dan (2) menghasilkan 3a + 5b = -2d

Eliminasi (1) dan (3) menghasilkan 5a + 3b = -3d

Dari 2 eliminasi ini didapatkan,

Nilai a, b, dan c disubstitusikan ke dalam persamaan umum sebuah bidang.

     ax + by + cz +d = 0

B.     PERSAMAAN BIDANG SEJAJAR

Bidang ax + by + cz + d = 0 dan bidang px + qy + rz + s = 0 dikatakan sejajar bila normalnya n₁ (a, b, c ) dan n₂ (p, q, r) adalah vector – vector yang paralel,

n₁ = kn₂

dimana k adalah bilangan real yang tidak nol.

Contoh :

Tentukanlah apakah bidang – bidang x + 2y – 2z = 5 dan 6x -3y + 2z = 8 sejajar.

Jawab :

Bidang – bidang x + 2y – 2z = 5 dan 6x -3y + 2z = 8 memiliki normal n₁ (1, 2, -2) dan n₂ ( 6, -3, 2 ). Kedua normal bidang bukan merupakan vector – vector parallel, tak ada nilai k real dan tak nol yang menyebabkan n₁( 1, 2, -2 ) = n₂ ( 6, -3, 2 ). Jadi kedua bidang tersebut tidak sejajar.

C.    PERSAMAAN BIDANG TEGAK LURUS

Bidang ax + by + cz + d = 0 dan bidang px + qy + rz + s = 0 dikatakan tegak lurus bila normalnya n₁ (a, b, c ) dan n₂ (p, q, r) adalah vector – vector orthogonal, yakni

n₁.n₂ = 0

maka kedua bidang dikatakan tegak lurus.

Contoh 1:

Tentukanlah apakah bidang – bidang  x – y – 3z = 5 dan 2x – y + z = 1 tegak lurus.

Jawab :

Bidang – bidang x – y – 3z = 5 dan 2x – y + z = 1 memiliki normal n₁ = ( 1, -1, -3 ) dan n₂ = ( 2, -1, 1 ). Kedua normal bidang merupakan vector – vector orthogonal, n₁.n₂ = 0, atau (1) (2) + (-1)(-1) + (-3) (1) = 0.

Jadi bidang – bidang x – y – 3z = 5 dan 2x – y + z = 1 saling tegak lurus.

Contoh 2 :

Cari persamaan bidang melalui ( -2, 1, 5 ) yang tegak lurus bidang 4x – 2y + 2z +1 = 0 dan 3x + 3y – 6z = 5

Jawab :

Bidang – bidang 4x – 2y + 2z +1 = 0 dan 3x + 3y – 6z = 5 memiliki normal n₁ (4, -2, 2 ) dan n₂ ( 3, 3, -6 ).

Bidang  yang tegak lurus bidang 4x – 2y + 2z +1 = 0 dan 3x + 3y – 6z = 5 adalah bidang yang vector normalnya, dimisalkan n3 ( a, b, c ) orthogonal dengan vector n₁ (4, -2, 2 ) dan n₂ (3, 3, -6 ).

n₃.n₁ = 0 atau 4a – 2b +2c = 0 ……………………………… (1)

n₃.n₂ = 0 atau 3a + 3b – 6c = 0 ………………………………(2)

Dari persamaan (1) dan (2) didapatkan ,

Jadi

Bila c dipilih sama dengan 3, maka n = ( 1, 5, 3 ) dan persamaan bidangnya menjadi x + 5y + 3z + d = 0

Karena bidang melalui titik ( -2, 1, 5 ) maka :

(1) (-2) + (5) (1) + (3) (5) + d = 0, d = -18

Persamaan bidang yang dicari adalah x + 5y + 3z – 18 = 0